\subsection*{2.2.1 证明自然数加法是结合的 $(a + b) + c = a + (b + c)$}

可以采用数学归纳法

$a = 0$ 时，

左边：
$$(0 + b) + c = b + c$$

右边：
$$0 + (b + c) = b + c$$

左边 = 右边

假设当 $a = n$ 时，$(n + b) + c = n + (b + c)$ 成立

则，当 $a = n++$ 时

$$
\begin{aligned}
((n++) + b) + c &= ((n + b)++) + c \\
&= ((n + b) + c) ++ \\
&= (n + (b + c))++ \\
&= (n++) + (b + c)
\end{aligned}
$$

证毕